問題です。解答は下部に載せました。
問題
個の任意の実数 について考える。
とおく。このとき、 とおくと、
となることを示せ。
解答:
よって、
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個の任意の実数 について考える。
とおく。このとき、 とおくと、
となることを示せ。
解答:
よって、
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問題:円 と直線 の交点のうち、 座標が正のものを点 とする。ただし、 、 とする。また、直線 と円 との2つの交点のうち、 座標が正のものを 、 座標が負のものを とする。このとき、線分 、線分 および弧 で囲まれた図形の面積を求めよ。
解答:
線分 と弧 で囲まれた図形は 軸対称である。また、点 をとると、三角形 の面積と三角形 の面積は等しい。よって、線分 、線分 および弧 で囲まれた図形の面積は、線分 、線分 および弧 のうち長さが短いもので囲まれた図形の面積と、三角形 の面積の和を 倍したものに等しい。
まず、三角形 の面積を求める。点 の 座標は、方程式
の解のうち、値が正のものである。この方程式の解は、
であるから、点 の 座標は であり、これは線分 の長さに等しい。点 の 座標は、方程式
の解のうち、値が正のものである。この方程式の解は、
であるから、点 の 座標は である。ゆえに、三角形 の面積を とすれば、
次に、線分 、線分 および弧 のうち長さが短いもので囲まれた図形の面積 を求める。
従って、線分 、線分 および弧 で囲まれた図形の面積を とすれば、
センター試験2020物理、第1問、問1の改題です。解答は下部に載せました。
問題:長さが の一様な棒の左端に質量 の物体をつるし、棒の右端から長さ だけ離れた点 で棒をつるすと水平に静止した。棒の断面積を 、密度を として、物体の質量 を 、 、 、 を用いて表せ。
解答:
重力加速度を として、点 を中心とした力のモーメントの釣り合いを考えると、
余談:
解答の2番目の式より、
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問題:下図のように、長さ の一様な板を一定の幅 だけずらしながら平積みしていく。このとき、板は崩さずに最大で何枚積むことができるか。
解答:
一番下の板の右上端を点 とし、点 を中心とした力のモーメントの釣り合いを考える。なお、板の断面積を 、密度を とする。
板を 枚積んだとき、点 の左側にかかる力のモーメントを とすると、
また、板を 枚積んだとき、点 の右側にかかる力のモーメントを とすると、
板を崩さずに積むためには、 である必要があるから、
よって、 を を超えない最大の整数とすれば、板は最大で 枚積むことができる。
余談:板を 枚積んだときに、点 より右側にはみ出した部分の長さを とすると、
よって、
であるから、ずらす幅 をどれだけ小さく取っても、板を板の長さ以上に点 より右側にはみ出させて崩さずに積むことはできない。
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問題: の極小値を求めよ。ただし、 と は0を除く任意の実数とする。
解答:
よって、 を満たす は、
の解であり、これは
で与えられる。よって、 は のときに、極小値
をとる。
余談:
のとき、 は、
のときに、極小値
となるから、 を動かしたときの極小値の軌跡は
で与えられる。
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問題
密度 、長さ 、断面積 の棒がある。この棒を、床に対して鉛直な方向から だけ回転させたときになされる仕事 と、 を求めよ。ただし、重力加速度を とし、 とする。
解答
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問題
空中のある一点につながれた長さ の糸の先に、質量 の小球がつながれている。この小球は、糸のつながれた空中の一点を中心に円運動をしている。このとき、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ の最小値を求めよ。また、そのときの小球の最下点での速さを求めよ。さらに、そのときの周期 および回転数 とそれらの近似値を求めよ。ただし、重力加速度を 、糸の張力を とする。また、空気抵抗、糸の質量および小球の大きさは無視できるとする。また、必要であれば、
を用いてよい。
解答
小球が最高点に来た時の力の釣り合いを考えると、
小球が円運動を続けるためには、張力 が正の値を取る必要があるから、
よって、小球が最高点に到達したときに、円運動を続けるために必要な速さ の最小値は である。
次に、小球が最高点に到達したときの速さが のときに、小球が最下点に来たときの速さ について考える。力学的エネルギー保存則より、
続いて、周期 を求めるために、小球が最下点から最高点に到達するまでの過程を考える。下図のように、小球が最下点から ラジアンだけ回転したとき、小球の速さを とすれば、力学的エネルギー保存則を考えると、
よって、周期 は、
また、回転数 は、