円を二等分する三次関数

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

座標平面上において，原点を中心とする半径１の円を二等分する $x$ の三次関数 $f(x)$ を求めよ．ただし， $f(1) = f(-1) = 0$ とする．また， $f(x)$ により描かれる曲線は，原点を中心とする半径１の円と $x = 1$ および $x = -1$ 以外で交点を持たないものとする．

解答

求める三次関数を次式で表すことにする．

$f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \ \ \ \ldots(1)$

条件より，次式が成り立つ．

$f(1) = a + b + c + d = 0 \ \ \ \ldots(2)$

$f(-1) = - a + b - c + d = 0 \ \ \ \ldots(3)$

また，原点を中心とする半径１の円を二等分するという条件から，次式が成り立つ．

$\int _{-1} ^1 f(x) dx = \frac{2}{3} b + 2d = 0 \ \ \ \ldots(4)$

$(2)$ 式， $(3)$ 式， $(4)$ 式より，次式が成り立つ．

$b = d = 0 \ \ \ \ldots(5)$

$c = -a \ \ \ \ldots(6)$

$f(x) = a x^3 - ax \ \ \ \ldots(7)$

また， $f(x)$ により描かれる曲線は，原点を中心とする半径１の円と $x = 1$ および $x = -1$ 以外で交点を持たないという条件から， $-1 \leq x \leq 1$ において次式が成り立つ．

$- \sqrt{1 - x^2} \lt f(x) \lt \sqrt{1 - x^2} \ \ \ \ldots(8)$

そこで， $-1 \leq x \leq 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める．

$f'(x) = 3a x^2 - a = 0$

$x = \pm \frac{ \sqrt{3}}{3}$

$f \left( - \frac{ \sqrt{3}}{3} \right) = \frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$

$f \left( \frac{ \sqrt{3}}{3} \right) = - \frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$

よって， $a \gt 0$ のとき， $f(x)$ は $x = - \frac{ \sqrt{3}}{3}$ のとき最大値 $\frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$ ， $x = \frac{ \sqrt{3}}{3}$ のとき最小値 $- \frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$ をとる．従って， $(8)$ 式より，次式が成り立つ．

$a \lt \frac{3 \sqrt{2}}{2} \ \ \ \ldots(9)$

また， $a \lt 0$ のとき， $f(x)$ は $x = \frac{ \sqrt{3}}{3}$ のとき最大値 $- \frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$ ， $x = - \frac{ \sqrt{3}}{3}$ のとき最小値 $\frac{ 2 \sqrt{3}}{9} a$ をとる．従って， $(8)$ 式より，次式が成り立つ．