２次元球形単純ランダムウォーク

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

直交座標平面上を点 $P$ が次の規則に従って動くとする．カウンターを１回進めるごとに，

・ $0 \leq \theta \leq 2 \pi$ を満たす連続型確率変数 $\theta$ が不規則に定まる．ただし， $\theta$ の確率密度関数は $f \left( \theta \right) = \frac{1}{2 \pi} \ \left( 0 \leq \theta \leq 2 \pi \right)$ とする． $P$ は $x$ 軸方向に $\cos \theta$ ， $y$ 軸方向に $\sin \theta$ 進む．

点 $P$ は最初に原点にあるとする．カウンターを $n$ 回進めたときに定める $\theta$ を $\theta _n$ とし，点 $P$ を $x$ 軸方向に $\cos \theta _n$ ， $y$ 軸方向に $\sin \theta _n$ 進めた後の点 $P$ を $P_n$ と表し， $P_n$ の座標を $P_n \left( x_n , y_n \right)$ と表す．また，原点と点 $P_n$ の距離を $d_n$ と表す．このとき，次の問いに答えよ．

１． ${x_{n}}^2$ ， ${y_{n}}^2$ ， ${d_{n}}^2$ をそれぞれ $\theta$ の式で表せ．

２． ${x_{n}}^2$ ， ${y_{n}}^2$ ， ${d_{n}}^2$ それぞれについて，その期待値を求めよ．

解答

１．

$x_{n} = \sum_{k=1}^{n} \cos \theta _k$ ， $y_{n} = \sum_{k=1}^{n} \sin \theta _k$ ， $d_{n} = \sqrt{ {x_n}^2 +{y_n}^2 }$ であるから，

${x_{n}}^2 = \left( \sum_{k=1}^{n} \cos \theta _k \right) ^2$

$= \sum_{k=1}^{n} \cos ^2 \theta _k + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \cos \theta _i \cos \theta _j$

${y_{n}}^2 = \left( \sum_{k=1}^{n} \sin \theta _k \right) ^2$

$= \sum_{k=1}^{n} \sin ^2 \theta _k + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \sin \theta _i \sin \theta _j$

${d_{n}}^2 = {x_n}^2 +{y_n}^2$

$= \sum_{k=1}^{n} \left( \cos ^2 \theta _k + \sin ^2 \theta _k \right) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \left( \cos \theta _i \cos \theta _j + \sin \theta _i \sin \theta _j \right)$

$= n+ 2 \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} \cos \left( \theta _i - \theta _j \right)$

２．

確率変数 $X$ の期待値を $E(X)$ と表すことにする．

$E( \cos ^2 \theta _k ) = \int _{0}^{2 \pi } \cos ^2 \theta _k \cdot \frac{1}{2 \pi } d \theta _k = \frac{1}{2}$

$E( \sin ^2 \theta _k ) = \int _{0}^{2 \pi } \sin ^2 \theta _k \cdot \frac{1}{2 \pi } d \theta _k = \frac{1}{2}$

$E( \cos \theta _i \cos \theta _j ) = \int _{0}^{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \cos \theta _i \cos \theta _j \cdot \frac{1}{4 \pi ^2 } d \theta _i d \theta _j = 0$

$E( \sin \theta _i \sin \theta _j ) = \int _{0}^{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \sin \theta _i \sin \theta _j \cdot \frac{1}{4 \pi ^2 } d \theta _i d \theta _j = 0$

$E( \cos \left( \theta _i - \theta _j \right) ) = \int _{0}^{2 \pi } \int _{0}^{2 \pi } \cos \left( \theta _i - \theta _j \right) \cdot \frac{1}{4 \pi ^2 } d \theta _i d \theta _j = 0$