正方格子点間の距離

自作問題です．解答は下部に載せました．

問題

下図のようにタテヨコ方向に格子点が３個ずつ並んだ正方格子がある．このとき，次の問いに答えよ．

１．格子点から２点を選んで線分を引くとき，線分の引き方は何通りあるか．

２．格子点から２点を選んで線分を引くとき，引くことが可能なすべての線分の長さの和を求めよ．

３．タテヨコ方向に格子点がｍ＋１個ずつ並んだ正方格子を考える．格子点から２点を選んで線分を引くとき，引くことが可能なすべての線分の長さの和を求めよ．

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解答

１．格子点は９個ありそこから２個をとる組み合わせを考えると，

　　 $_9 \rm C$ $_2 = \frac {9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$ 通り．

２．引くことが可能な線分は次のように分類できる．

（I）隣り合う２個の格子点を結ぶタテおよびヨコ方向の線分

このような線分は１２本引くことができ，その長さはいずれも１である．

（II）隣り合う２個の格子点を結ぶナナメ方向の線分

このような線分は８本引くことができ，その長さはいずれも $\sqrt{2}$ である．

（III）間に１個の格子点を挟んだ２個の格子点を結ぶタテおよびヨコ方向の線分

このような線分は６本引くことができ，その長さはいずれも２である．

（IV）間に格子点を挟まない２個の格子点を結ぶナナメの線分

このような線分は８本引くことができ，その長さはいずれも $\sqrt{5}$ である．

（V）間に１個の格子点を挟んだ２個の格子点を結ぶナナメの線分

このような線分は２本引くことができ，その長さはいずれも $2 \sqrt{2}$ である．

よって，格子点から２点を選んで線分を引くとき，引くことが可能なすべての線分の長さの和は，

$12 \cdot 1 + 8 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot 2 + 8 \cdot \sqrt{5} +2 \cdot 2 \sqrt{2} = 4 \left( 6 + 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} \right)$

となる．

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３．タテヨコ方向に格子点がｍ＋１個ずつ並んだ正方格子を考える．格子点から２点を選んで線分を引くとき，引くことが可能なすべての線分の長さの和は，

$2 \left( m + 1 \right) \sum_{k=1}^{m} k \left( m + 1 - k \right) + 2 \sum_{l=1}^{m} \sum_{k=1}^{m} kl \sqrt{ \left(m + 1 - k \right) ^{2} + \left(m + 1 - l \right) ^{2} }$

で与えられる．

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正方格子点間の距離