頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

二項分布による確率の推定に必要な試行回数について

確率 統計学

確率 { \displaystyle p } で起こる事象 { \displaystyle A } が， { \displaystyle n } 回の独立試行の結果 { \displaystyle r } 回起こるとします．このとき， { \displaystyle r } は確率変数であり，その確率分布は二項分布 { \displaystyle B \left( n, p \right) } と呼ばれ，次式で表されます．

{ \displaystyle B \left( n, p \right) =\left( \prod_{i = 1}^{r} \frac{n + 1 - i}{i} \right) p^r \left( 1 - p \right) ^{n-r} \ \ \ \ \ \left( r = 0,1, \ldots , n \right) }

ここで， { \displaystyle \epsilon } を正の定数として，次の不等式を考えます．

{ \displaystyle - \epsilon \leq \frac{r}{n} - p \leq \epsilon \ \ \ \ldots (1) }

上の不等式を { \displaystyle r } について解くと，次式になります．

{ \displaystyle n \left( p - \epsilon \right) \leq r \leq n \left( p + \epsilon \right) }

そこで，

{ \displaystyle k = \lceil n \left( p - \epsilon \right) \rceil }

{ \displaystyle l = \lfloor n \left( p + \epsilon \right) \rfloor }

とおき，

{ \displaystyle S = \sum_{r=k}^{l} \left( \prod_{i = 1}^{r} \frac{n + 1 - i}{i} \right) p^r \left( 1 - p \right) ^{n-r} }

とすると， { \displaystyle S } は { \displaystyle n } 回の独立試行を行ったときに { \displaystyle (1) } の不等式が成り立つ確率になります．

{ \displaystyle \epsilon = 0.01 } として，異なる { \displaystyle n } と { \displaystyle p } について { \displaystyle S } の値を求めた結果が次表になります．

f:id:todayf0rmu1a:20190914004115p:plain

 表を見ると， { \displaystyle n=10000 } では，上にあげた確率 { \displaystyle p } についてはいずれも { \displaystyle S \geq 0.95 } となっています．

よって，上にあげた { \displaystyle p } については，１万回の独立試行を行えば９５％以上の確率で， { \displaystyle p } を誤差±１％以内で推定することができ，個人的にはこれで十分なのではないかと思います．

 

 

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