中心つき六角数の簡単な求め方

下図のように，石を中心から順に正六角形を描くように配置していったときに，置いた石の数を”中心つき六角数”といいます．下図の場合，中心つき六角数は１９で，これは３番目の中心つき六角数になります．

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$n$ 番目の中心つき六角数 $C_{6,n}$ は次式で表されます．

$C_{6,n} = 3n \left( n - 1 \right) + 1 \ \ \ \ldots (1)$

上の式の導出は様々なパターンがありますが，ここでは下図のパターンを紹介します．

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この図に示したように，中心つき六角数を考えるときに並べた石は，大きさの異なる３つの平行四辺形によって分けることができます．それぞれの平行四辺形内に置かれた石の数は，大きいものから順に $n^2$ ， $n \left( n-1 \right)$ ， $\left( n -1 \right) ^2$ となります．ゆえに，