漸化式 a_{n+1} = f(n)a_n + (定数) ― ガンマ関数を用いる解法

次式で表される漸化式について考えます．

$a_{n + 1} = \frac{p \left( n + 1 \right) + q}{p \left( n + 1 \right) } \ a_n + r \ \ \ \left( n \geq 0 \right) \ldots (1)$

ここで， $p$ ， $q$ ， $r$ は任意の定数です．ただし， $p \gt 0$ ， $q \geq 0$ ， $r \neq 0$ とします．

$(1)$ を解くために，まずは次式を考えます．

$a_n = x \left( n + 1 \right) \ \ \ \ldots (2)$

ここで， $x$ は０でない任意の定数です．

$(2)$ 式を $(1)$ 式に代入すると，次式が得られます．

${ \displaystyle x \left( n + 2 \right) = \frac{p \left( n + 1 \right) + q}{p \left( n + 1 \right) } \ x \left( n + 1 \right) + r \ \ \ \ldots (3) }$

$(3)$ 式を $x$ について解くと次式を得ます．

$x = \frac{pr}{p - q} \ \ \ \ldots (4)$

よって，次式は $(1)$ 式を満たします．

$a_n = \frac{pr}{p - q} \left( n + 1 \right) \ \ \ \ldots (5)$

ところで， $(5)$ 式にガンマ関数を含む項を加えた次式も $(1)$ 式を満たします．

$a_n = \frac{pr}{p - q} \left( n + 1 \right) + C \frac{ \Gamma \left( n + 1 + \frac{q}{p} \right) }{ \Gamma \left( n + 1 \right) } \ \ \ \ldots (6)$

ここで， $C$ は任意の定数です．

$(6)$ 式が $(1)$ 式を満たすことは，ガンマ関数の性質の一つである次式を用いて確認できます．気になる方は式変形してみてください．

$\Gamma \left( \alpha + 1 \right) = \alpha \Gamma \left( \alpha \right) \ \ \ \ldots (7)$

ここで， $\alpha$ は正の実数とします．

$a_m = s$ とすると， $(6)$ 式より， $C$ は次式で与えられます．ただし， $m \geq 0$ ， $s$ は任意の実数とします．

$C = \frac{ \Gamma \left( m + 1 \right) }{ \Gamma \left( m + 1 + \frac{q}{p} \right) } \left( s - \frac{pr}{p - q} \left( m + 1 \right) \right) \ \ \ \ldots (8)$

ところで， $m = 0$ であり， $s$ ， $\frac{q}{p}$ ， ${ \displaystyle \frac{pr}{p - q} }$ がいずれも整数であるとき， $n$ が整数ならば $a_n$ は整数になります．

これは，次のように証明できます．

まず，上に示した条件下において， $(6)$ 式の右辺第１項が整数となることは明らかです．

続いて， $(6)$ 式の右辺第２項ですが，これは次式となります．

$（右辺第２項）= \frac{ \Gamma \left( 1 \right) }{ \Gamma \left( 1 + \frac{q}{p} \right) } \frac{ \Gamma \left( n + 1 + \frac{q}{p} \right) }{ \Gamma \left( n + 1 \right) } \left( s - \frac{pr}{p - q} \right) \ \ \ \ldots (9)$

$(9)$ 式の一番右側のかっこ内が整数であるのは明らかです．そこで，ガンマ関数で表された部分についてですが，これは次のように二項係数を用いて表すことができます．

${ \displaystyle \frac{ \Gamma \left( 1 \right) }{ \Gamma \left( 1 + \frac{q}{p} \right) } \frac{ \Gamma \left( n + 1 + \frac{q}{p} \right) }{ \Gamma \left( n + 1 \right) } = \frac{1}{ \left( \frac{q}{p} \right) ! } \frac{ \left( n + \frac{q}{p} \right) ! }{ \left( n + \frac{q}{p} - \frac{q}{p} \right) ! } = \binom{ n + \frac{q}{p} }{ \frac{q}{p} } \ \ \ \ldots (10) }$