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誤差関数に関連した微分方程式

微分方程式

誤差関数 { \displaystyle \rm erf } { \displaystyle (x) } と呼ばれる関数があります．

{ \displaystyle \rm erf } { \displaystyle (x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int ^x _0 e^{-t^2} dt}

この記事では，誤差関数に含まれる  { \displaystyle t } の指数を任意の実数定数 { \displaystyle k } とおき， { \displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2} } をかけた次式について考えます．

{ \displaystyle f(x) = \int ^x _0 e^{-t^k} dt \ \ \ \ldots(1) }

{ \displaystyle (1) } 式を { \displaystyle x } で微分すると次式になります．

{ \displaystyle \frac{df(x)}{dx} = e^{-x^k} \ \ \ \ldots(2) }

よって， { \displaystyle (2) } 式の微分方程式の一般解は次式で表されます．

{ \displaystyle f(x) = \int ^x _0 e^{-t^k} dt + c \ \ \ \ldots(1)' }

ここで， { \displaystyle c } は任意の定数です．

また， { \displaystyle (2) } 式から，逆関数の微分法より， { \displaystyle f(x) } の逆関数 { \displaystyle f^{-1} (x) } について次式が成り立ちます．

{ \displaystyle \frac{df^{-1} (x)}{dx} = e^{ \left( f^{-1} (x) \right) ^k} \ \ \ \ldots(3) }

よって， { \displaystyle (3) } 式の微分方程式の一般解を { \displaystyle g(x) } とおくと， { \displaystyle g(x) } は次式で表されます．

{ \displaystyle g (x) = f^{-1} (x + C) \ \ \ \ldots(4) }

ここで， { \displaystyle C } は任意の定数です．

 

 

誤差論

誤差論

 
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