頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

微分方程式 y' = y^r の解

微分方程式

微分方程式

{ \displaystyle y'(x) = y(x)^r \ \ \ \ldots(1) }

について考えます．ここで， { \displaystyle r } は任意の実数とします．

 

１． { \displaystyle r = 1 } のとき

{ \displaystyle (1) } 式の解は次式で表されます．

{ \displaystyle y(x) = Ce^x \ \ \ \ldots(2) }

ここで， { \displaystyle C } は任意の実数とします．

 

２． { \displaystyle r \neq 1 } のとき

まず， { \displaystyle (1) } 式の解が次式で表されると仮定します．

{ \displaystyle y(x) = s \left( x - c \right)^t \ \ \ \ldots(3) }

ここで， { \displaystyle s } ， { \displaystyle t } ， { \displaystyle c } はいずれも任意の実数とします．

{ \displaystyle (3) } 式を { \displaystyle x } で微分すると次式になります．

{ \displaystyle y'(x) = st \left( x - c \right)^{t-1} \ \ \ \ldots(4) }

{ \displaystyle (1) } 式と { \displaystyle (4) } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle st \left( x - c \right)^{t-1} = \left( s \left( x - c \right)^t \right)^r = s^r \left( x - c \right)^{rt} \ \ \ \ldots(5) }

{ \displaystyle (5) } 式より次の連立方程式が導かれます．

{ \displaystyle st = s^r \ \ \ \ldots(6) }

{ \displaystyle t - 1 = rt \ \ \ \ldots(7) }

{ \displaystyle (7) } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle t = \frac{1}{1 - r} \ \ \ \ldots(7)' }

{ \displaystyle (6) } 式， { \displaystyle (7)' } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle \frac{s}{1 - r} = s^r \ \ \ \ldots(6)' }

{ \displaystyle (6)' } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle s = \left( 1 - r \right) ^ \left( { \frac{1}{1 - r} } \right) \ \ \ \ldots(6)'' }

{ \displaystyle (3) } 式， { \displaystyle (6)'' } 式， { \displaystyle (7)' } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle y(x) = \left( \left( 1 - r \right) \left( x - c \right) \right) ^{ \frac{1}{1 - r} } \ \ \ \ldots(8) }

 

 

なるほど微分方程式

なるほど微分方程式

 
「Amazon.co.jpアソシエイト」