数列の漸化式 a_n = 1/(a_{n-1} + p)

次の数列の漸化式について考えます．

$a_n = \frac{1}{a_{n-1} + p} \ \ \ \ldots(1)$

ただし， $a_1$ は実数の定数とします．

まず，数列 $a_n$ を次のようにおきます．

$a_n = \frac{b_n}{ b_{n+1} } \ \ \ \ldots(2)$

そして， $(2)$ を $(1)$ に代入します．

${ \displaystyle \frac{b_n}{ b_{n+1} } = \frac{1}{ \frac{ b_{n-1} }{ b_{n} } + p} = \frac{ b_{n} }{ b_{n-1} + p b_{n} } \ \ \ \ldots(3) }$

$(3)$ 式の分母を見比べると，次式が成り立っているといえます．

$b_{n+1} = p b_{n} + b_{n-1} \ \ \ \ldots(4)$

$(4)$ 式は隣接３項間の漸化式であるので，特性方程式

$x^2 - px - 1 = 0$

を解くと，

$x = \frac{p \pm \sqrt{p^2 + 4}}{2}$

となるから，次の２つの式が成り立つ．

$b_{n+1} - \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_n = \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} \left( b_n - \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{n-1} \right) \ \ \ \ldots(5)$

$b_{n+1} - \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_n = \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} \left( b_n - \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{n-1} \right) \ \ \ \ldots(6)$

$(5)$ 式より，次式が成り立ちます．

$b_{n} - \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{n - 1} = \left( b_1 - \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{0} \right) \cdot \left( \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(7)$

また， $(6)$ 式より，次式が成り立ちます．

$b_{n} - \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{n - 1} = \left( b_1 - \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{0} \right) \cdot \left( \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2} \right) ^{n-1} \ \ \ \ldots(8)$

$(8)$ 式から $(7)$ 式を引くことで，次式が得られます．

${ \displaystyle b_{n - 1} = \frac{1}{\sqrt{p^2 + 4}} \left \{ A \cdot B ^{n-1} - \left( A - \sqrt{p^2 + 4} \ b_0 \right) \cdot \left( B - \sqrt{p^2 + 4} \right) ^{n-1} \right \} \ \ \ \ldots(9) }$

ここで，

$A = b_1 - \frac{p - \sqrt{p^2 + 4}}{2} b_{0}$

$B = \frac{p + \sqrt{p^2 + 4}}{2}$

とおきました．

$(2)$ 式と $(9)$ 式より，次式が成り立ちます．

$a_n = \frac{b_n}{ b_{n+1} }$

$= \frac{A \cdot B ^{n} - \left( A - \sqrt{p^2 + 4} \ b_0 \right) \cdot \left( B - \sqrt{p^2 + 4} \right) ^{n}}{ A \cdot B ^{n+1} - \left( A - \sqrt{p^2 + 4} \ b_0 \right) \cdot \left( B - \sqrt{p^2 + 4} \right) ^{n+1} } \ \ \ \ldots(10)$