球面上の螺旋の長さ

下図のような，動径の長さを１に固定した球面座標系を考えます．

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この座標系において，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表されます．

$x = \sin \theta \cos \varphi \ \ \ \ldots (1)$

$y = \sin \theta \sin \varphi \ \ \ \ldots (2)$

$z = \cos \theta \ \ \ \ldots (3)$

今， $\varphi - \theta$ 関係が次式で与えられているとします．

$\varphi = k \theta \ \ \ \left( k \gt 0 \right) \ \ \ \ldots (4)$

このとき，点Pのｘ座標，ｙ座標，ｚ座標はそれぞれ次式で表されます．

$x = \sin \theta \cos k \theta \ \ \ \ldots (5)$

$y = \sin \theta \sin k \theta \ \ \ \ldots (6)$

$z = \cos \theta \ \ \ \ldots (7)$

$\theta$ を $0$ から $\pi$ まで動かしたときに $(5) - (7)$ 式が描く曲線を以下に示します．

$k = 1$ のとき

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$k = 2$ のとき

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$k = 3$ のとき

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$k = 20$ のとき

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$k$ の値が大きくなるほど，螺旋の巻き数が増え，曲線は長くなっていることがわかります．

そこで， $\theta$ を $0$ から $\pi$ まで動かしたときに $(5) - (7)$ 式が描く曲線の長さを求めてみます．

まず，求める曲線の長さを $S$ とすると， $S$ は次式で表されます．

$S = \int _0^{ \pi } \sqrt{ \left( \frac{dx}{d \theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d \theta} \right)^2 + \left( \frac{dz}{d \theta} \right)^2 } \ d \theta \ \ \ \ldots (8)$

$(8)$ 式を計算するために， $(5) - (7)$ 式をそれぞれ $\theta$ で微分すると次式となります．

${ \displaystyle \frac{dx}{d \theta} = \left( \sin \theta \right)' \cos k \theta + \sin \theta \left( \cos k \theta \right)' }$

$= \cos \theta \cos k \theta - k \sin \theta \sin k \theta \ \ \ \ldots (5)'$

${ \displaystyle \frac{dy}{d \theta} = \left( \sin \theta \right)' \sin k \theta + \sin \theta \left( \sin k \theta \right)' }$

$= \cos \theta \sin k \theta + k \sin \theta \cos k \theta \ \ \ \ldots (6)'$

${ \displaystyle \frac{dz}{d \theta} = - \sin \theta \ \ \ \ldots (7)' }$

$(5)' - (7)'$ 式をそれぞれ２乗すると次式となります．

$\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^2 = \left( \cos \theta \cos k \theta - k \sin \theta \sin k \theta \right)^2$

$= \cos ^2 \theta \cos ^2 k \theta - 2k \sin \theta \cos \theta \sin k \theta \cos k \theta + k^2 \sin ^2 \theta \sin ^2 k \theta \ \ \ \ldots (5)''$

$\left( \frac{dy}{d \theta} \right)^2 = \left( \cos \theta \sin k \theta + k \sin \theta \cos k \theta \right)^2$

$= \cos ^2 \theta \sin ^2 k \theta + 2k \sin \theta \cos \theta \sin k \theta \cos k \theta + k^2 \sin ^2 \theta \cos ^2 k \theta \ \ \ \ldots (6)''$

$\left( \frac{dz}{d \theta} \right)^2 = \sin ^2 \theta \ \ \ \ldots (7)''$

$(5)'' - (7)''$ 式の両辺を足し合わせると，次式が成り立ちます．

$\left( \frac{dx}{d \theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d \theta} \right)^2 + \left( \frac{dz}{d \theta} \right)^2 = \cos ^2 \theta \left( \cos ^2 k \theta + \sin ^2 k \theta \right) + k^2 \sin ^2 \theta \left( \sin ^2 k \theta + \cos ^2 k \theta \right)+ \sin ^2 \theta$