頭の整理

頭の中を整えるために，色々と書き綴ります

固定されたレール上を動く質点の重力場における運動

微分方程式 力学

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関数 { \displaystyle y=f(x) } 上の一点 { \displaystyle \left( x_0, y_0 \right) } に置いた質点 { \displaystyle P } が関数  { \displaystyle y=f(x) } 上を力学的エネルギー保存則を満たしながら動くとします．ただし，関数 { \displaystyle y=f(x) } の最小値 { \displaystyle \left( x_m, y_m \right) } において，位置エネルギーは０とします．質点  { \displaystyle P } の座標を  { \displaystyle \left( x(t), y(t) \right) } とすると，力学的エネルギー保存則から次式が成り立ちます．

{ \displaystyle \left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right) ^2 + 2g \left( y(t) - y_m \right) = 2g \left( y_0 - y_m \right) \ \ \ \ldots (1) }

ここで， { \displaystyle g } は重力加速度です．

また，質点 { \displaystyle P } の速度を  { \displaystyle v } とおくと，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle v^2 = \left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{dy(t)}{dt} \right) ^2 = 2g \left( y_0 - y(t) \right) \ \ \ \ldots (2) }

 

次に，一例として， { \displaystyle y= x^2 } のとき， { \displaystyle (1) } 式から  { \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt} } を求めてみます．

{ \displaystyle (1) } 式に  { \displaystyle y(t) = {x(t)}^2 } ，および { \displaystyle y_m = 0 } を代入すると，次式になります．

{ \displaystyle \left( \frac{dx(t)}{dt} \right) ^2 + \left( \frac{d {x(t)}^2}{dt} \right) ^2 + 2g {x(t)}^2 = 2g y_0 \ \ \ \ldots(3) }

ここで，合成関数の微分法より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle \left( \frac{d {x(t)}^2 }{dt} \right) ^2 = \left( \frac{d {x(t)}^2 }{dx(t)} \cdot  \frac{d x(t)}{dt} \right) ^2 }

                        { \displaystyle = \left( 2x(t) \frac{dx(t)}{dt} \right)^2 }

                        { \displaystyle = 4 {x(t)}^2 \left( \frac{d x(t)}{dt} \right) ^2 \ \ \ \ldots(4) }

{ \displaystyle (4) } 式を  { \displaystyle (3) } 式に代入して整理すると，次式となります．

{ \displaystyle \frac{dx(t)}{dt} = \pm \sqrt{ \frac{2g \left( y_0 - {x(t)}^2 \right)}{1+4 {x(t)}^2}} \ \ \ \ldots(5) }

また， { \displaystyle (4) } 式と  { \displaystyle (5) } 式より，次式が成り立ちます．

{ \displaystyle \frac{dy(t)}{dt} = \frac{d {x(t)}^2 }{dt} = \pm 2 x(t) \sqrt{ \frac{2g \left( y_0 - {x(t)}^2 \right)}{1+4 {x(t)}^2}} \ \ \ \ldots(6) }

 

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{ \displaystyle g=9.8, y_0 = 100, x_0 = -10 } としたときの  { \displaystyle \frac{dx(t)}{dt}, \frac{dy(t)}{dt}, v } をそれぞれプロットしたもの

 

 

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