頭の整理

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等角写像の練習問題

微分 複素数

自作問題です．解答は下部に載せました．

 

問題

{ \displaystyle z = x + iy } とする．ただし， { \displaystyle i } は虚数単位であり， { \displaystyle x } ， { \displaystyle y } はいずれも任意の実数とする． { \displaystyle z } 平面上の４つの直線 { \displaystyle l_1 : y = 0 } ， { \displaystyle l_2 : x = 1 } ， { \displaystyle l_3 : y = 1 } ， { \displaystyle l_4 : x = 0 } が関数  { \displaystyle w = z^2 } によってそれぞれ  { \displaystyle w } 平面上の曲線  { \displaystyle l'_1 } ， { \displaystyle l'_2 } ， { \displaystyle l'_3 } ， { \displaystyle l'_4 } に写されるとする．このとき，次の問いに答えよ．

１．曲線  { \displaystyle l'_1 } ， { \displaystyle l'_2 } ， { \displaystyle l'_3 } ， { \displaystyle l'_4 } をそれぞれ求めよ．

２． { \displaystyle x = 1, y = 0 } のとき，曲線  { \displaystyle l'_1 } と曲線  { \displaystyle l'_2 } は { \displaystyle w } 平面上で直角に交わることを示せ．

３． { \displaystyle x = 1, y = 1 } のとき，曲線  { \displaystyle l'_2 } と曲線  { \displaystyle l'_3 } は { \displaystyle w } 平面上で直角に交わることを示せ．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解答

１．

{ \displaystyle w = z^2 = \left( x + iy \right) ^2 = x^2 - y^2 + i \cdot 2xy \ \ \ \ldots(1) }

よって，曲線  { \displaystyle l'_1 } と  { \displaystyle l'_4 } はいずれも  { \displaystyle w } 平面上において，次式で表される．ただし， { \displaystyle w = a + ib } とし， { \displaystyle a } ， { \displaystyle b } はいずれも任意の実数とする．

{ \displaystyle b = 0 \ \ \ \ldots(2) }

続いて，曲線  { \displaystyle l'_2 } は { \displaystyle w } 平面上において，次の二つの式で表される．

{ \displaystyle a = 1 - y^2 \ \ \ \ldots(3) }

{ \displaystyle b = 2y \ \ \ \ldots(4) }

{ \displaystyle (3) } 式と  { \displaystyle (4) } 式より，曲線  { \displaystyle l'_2 } は次の陽関数で表せる．

{ \displaystyle b = \pm 2 \sqrt{1 - a} \ \ \ \ldots(5) }

続いて，曲線  { \displaystyle l'_3 } は { \displaystyle w } 平面上において，次の二つの式で表される．

{ \displaystyle a = x^2 - 1 \ \ \ \ldots(6) }

{ \displaystyle b = 2x \ \ \ \ldots(7) }

{ \displaystyle (6) } 式と  { \displaystyle (7) } 式より，曲線  { \displaystyle l'_3 } は次の陽関数で表せる．

{ \displaystyle b = \pm 2 \sqrt{1 + a} \ \ \ \ldots(8) }

 

２．

{ \displaystyle (5) } 式を両辺  { \displaystyle a } で微分すると，次式となる．

{ \displaystyle \frac{db}{da} = \pm \frac{1}{ \sqrt{1 - a}} \ \ \ \ldots(9) }

{ \displaystyle (3) } 式， { \displaystyle (9) } 式より，次式が成り立つ．

{ \displaystyle \lim _{y \to 0} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 1} \frac{db}{da} = \pm \infty \ \ \ \ldots(10) }

{ \displaystyle (10) } 式より，曲線  { \displaystyle l'_2 } の  { \displaystyle x = 1, y = 0 } における接線の傾きは { \displaystyle \pm \infty } である．

一方，曲線  { \displaystyle l'_1 } の  { \displaystyle x = 1, y = 0 } における接線の傾きは０である．

したがって， { \displaystyle x = 1, y = 0 } のとき，曲線  { \displaystyle l'_1 } と曲線  { \displaystyle l'_2 } は { \displaystyle w } 平面上で直角に交わる．

 

３．

{ \displaystyle x = 1, y = 1 } において， { \displaystyle (5) } 式より曲線  { \displaystyle l'_2 } は次式で表される．

{ \displaystyle b = 2 \sqrt{1 - a} \ \ \ \ldots(11) }

{ \displaystyle (11) } 式を両辺  { \displaystyle a } で微分すると，次式となる．

{ \displaystyle \frac{db}{da} = - \frac{1}{ \sqrt{1 - a}} \ \ \ \ldots(12) }

よって， { \displaystyle (3) } 式， { \displaystyle (12) } 式より，次式が成り立つ．

{ \displaystyle \lim _{y \to 1} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 0} \frac{db}{da} = - 1 \ \ \ \ldots(13) }

{ \displaystyle (13) } 式より，曲線  { \displaystyle l'_2 } の  { \displaystyle x = 1, y = 1 } における接線の傾きは { \displaystyle - 1 } である．

一方， { \displaystyle x = 1, y = 1 } において， { \displaystyle (8) } 式より曲線  { \displaystyle l'_3 } は次式で表される．

{ \displaystyle b = 2 \sqrt{1 + a} \ \ \ \ldots(14) }

{ \displaystyle (14) } 式を両辺  { \displaystyle a } で微分すると，次式となる．

{ \displaystyle \frac{db}{da} = \frac{1}{ \sqrt{1 + a}} \ \ \ \ldots(15) }

よって， { \displaystyle (6) } 式， { \displaystyle (15) } 式より，次式が成り立つ．

{ \displaystyle \lim _{x \to 1} \frac{db}{da} = \lim _{a \to 0} \frac{db}{da} = 1 \ \ \ \ldots(16) }

{ \displaystyle (16) } 式より，曲線  { \displaystyle l'_3 } の  { \displaystyle x = 1, y = 1 } における接線の傾きは { \displaystyle 1 } である．

したがって， { \displaystyle x = 1, y = 1 } のとき，曲線  { \displaystyle l'_2 } と曲線  { \displaystyle l'_3 } は { \displaystyle w } 平面上で直角に交わる．

 

 

近代函数論〈2〉等角写像の理論 (1977年) (数学全書〈4〉)

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