二次関数(1) - 頭の整理

二次関数について整理します．

まず，二次関数とは次の一般式で表される関数です．

$y=ax^2+bx+c \ \ \ \left( a \neq 0 \right)$

ここで，関数の形を決めるパラメータはa,b,cの3つあります．そのため，x-y平面上で異なる3点を指定すると，それらの点を通る二次関数は一意に定まります．

3点 $(x_1,y_1)$ ， $(x_2,y_2)$ ， $(x_3,y_3)$ を通る二次関数 $y=ax^2+bx+c$ のパラメータは下に示す式で表されます．

$a=-\frac{y_1(x_2-x_3)+y_2(x_3-x_1)+y_3(x_1-x_2)} {(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}$

$b=\frac{y_1(x_2^2-x_3^2)+y_2(x_3^2-x_1^2)+y_3(x_1^2-x_2^2)} {(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}$

$c=-\frac{x_2x_3y_1(x_2-x_3)+x_3x_1y_2(x_3-x_1)+x_1x_2y_3(x_1-x_2)} {(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}$

a>0の場合，二次関数は下に凸となります．一方，a<0の場合，二次関数は上に凸となります．

二次関数の一般式は次のように変形できます．

$y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac} {4a}$

この変形を平方完成といいます．上式のグラフは， $y=ax^2$ のグラフをx軸方向に $-\frac{b}{2a}$ ，y軸方向に $-\frac{b^2-4ac} {4a}$ 平行移動したものを表します．そのため，二次関数の一般式をグラフに表すとその軸は $-\frac{b}{2a}$ ，頂点のy座標は $-\frac{b^2-4ac} {4a}$ であるとわかります．