頭の整理

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円周率が4より小さいことの図形的証明

平面図形

円周率 { \displaystyle \pi } が4より小さいことを図形的に証明します．証明の流れとしては，正方形と円の面積からのアプローチになります．

 

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証明：まず，正方形と円の面積が等しくなる条件について考える．上の左側に示した図のように，正方形が円に外接しているときは，明らかに（正方形の面積）＞（円の面積）となります．逆に，正方形が円に内接しているときは，明らかに（正方形の面積）＜（円の面積）となります．よって，円と面積が等しい正方形は，円に外接する正方形よりは小さく，円に内接する正方形よりは大きい正方形（図で青色の線で描かれた正方形）となります．

この青色の線で描かれた正方形の一辺の長さの半分を { \displaystyle l }，円の半径を { \displaystyle r } とすると，上の右側に示した図より，明らかに { \displaystyle r \ ＞ \ l } が成り立ちます．

ところで，この青色の線で描かれた正方形と円の面積は等しいので，

{ \displaystyle (2l)^2=\pi r^2 }

{ \displaystyle 4l^2=\pi r^2 }

が成り立ちます．ここで， { \displaystyle r \ ＞ \ l } より  { \displaystyle r^2 \ ＞ \ l^2 } であるため，

{ \displaystyle \frac{l^2} {r^2} = \frac{\pi} {4} \ ＜\ 1 }

となります．よって，

{ \displaystyle \pi \ ＜ \ 4 }

が成り立ちます．

 

 

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