自作問題です．解答は下部に載せました． 問題：１辺の長さが１の正三角形に正方形を内接させる．ただし，正方形の４辺のうち１辺は外接している正三角形の１辺上にあるとすると，この辺の対辺と外接している正三角形の２辺からなる三角形は正三角形となる．…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のようにタテヨコ方向に格子点が３個ずつ並んだ正方格子がある．このとき，次の問いに答えよ． １．格子点から２点を選んで線分を引くとき，線分の引き方は何通りあるか． ２．格子点から２点を選んで線分…

パスカルの三角形の各段の数を左詰めで書くと下のように書くことができます．ただし，”|”は各数を区別する仕切りを表しています． １段目：１ ２段目：１|１ ３段目：１|２|１ ４段目：１|３|３|１ ・・・ このパスカルの三角形を途中の段で折り返し，以後折…

汚れた雑巾を桶に入れた水ですすいで洗うときに，こんなことを気にしたことはありませんか？ 一度にたくさん桶に水を入れて豪快にすすぐ場合と，少し桶に水を入れてすすいだ後で桶の水を入れ替えてすすぐことを繰り返す場合，どちらが水の節約になるのだろう…

Reverse and Subtract（日本語に直すと「反転引き算」）と呼ばれる次のような計算があります． ============================================================== 進法で表した自然数 の反転引き算を次式で定義する． ここで， は の各桁の数字を逆に並べた…

自作問題です．解答は下部に載せました．こういう問題を見ていると，実験データに数理モデルがよく適合することの意味はどこにあるのだろうと思えてきます． 問題 次の数列の一般項を求めよ． （１） （２） （３） （４） （５） （６） 解答 を正の整数， …

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 直交座標平面上を点 が次の規則に従って動くとする．カウンターを１回進めるごとに， ・ を満たす連続型確率変数 が不規則に定まる．ただし， の確率密度関数は とする． は 軸方向に ， 軸方向に 進む． 点 は…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 ２つの円 ， が接している． の半径を ， の半径を とする．点 と点 は２つの円の接点を同時に出発し， は 上を時計回りに， は 上を反時計回りに動き続ける． と が動く速さは等しく，その速さを とする．この…

自室に居るとよくパキッとかトンッとかいう音がします．時々気になるのですが，どれくらい音がなっているのかと思って回数を数えてみました．ちなみに，家は木造部分に鉄筋コンクリートで増築してあり，自室は二階の木造部分にあります． 計測は夕方６時４５…

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 ， とする．このとき，次の問いに答えよ． １．微分方程式 を解き， ， ， をいずれも の式で表せ．ただし， のとき， とし， ＞ とする． ２． のとき， の値を求めよ． 解答 １． よって， （ は積分定数） …

自作問題です．解答は下部に載せました． 問題 下図のように直角三角形の三辺を半径とする３つの円を描き，半径が短い方から順に ， ， とする． ， ， の面積をそれぞれ ， ， とするとき， が成り立つことを示せ． 解答 直角三角形の三辺の長さを ， ，（…

プログラミングをしていると，ループの中にループが含まれる”多重ループ”と呼ばれる構造にしばしば出くわします．多重ループはＦＯＲ～ＮＥＸＴ文やＤＯ～ＬＯＯＰ文を入れ子にして記述することが多いです．例えば，３次元配列Ｑの値をＰに代入する場合，Ｆ…

約数をつかったすごろくを考えてみました． ”約数すごろく” ルール（１人プレイのとき） １．スタートのマスにコマを置く．スタートのマスには が書かれており，マスにはスタートからゴールまで から の自然数が書かれている．（スタートのマスに書かれた数…

循環数列についての問題です．解答は下部に載せました． 問題 を虚数単位， および を自然数， を整数とする．このとき，次の問いに答えよ． １． が成り立つことを証明せよ． ２． が の倍数であるとき， であることを証明せよ． ３． が の倍数でないとき…

自作問題です．解答は下部に載せてあります． 問題 下図のように，半径 の円を 平面に対して平行に，かつ円の中心が 軸上にあるように配置する． 軸に平行であり，かつ円を通る直線 の周りに円を だけ回転させる．このとき，円の真上から照射される光によっ…

素数の割り算についての自作問題です．解答は下部に載せてあります． 問題 を素数， および を自然数とする（ただし， ）．このとき，次の問いに答えよ． １． を 以上 以下の自然数とする．このとき， であることを証明せよ． ２． および を 以上 以下の自…

数列の自作問題です．解答は下部に載せてありますが，解説は省略しました． 問題 次のように整数を絶対値の小さいほうから順に並べた数列がある． ，，，，，， この数列の第 項を とするとき， を の式で表せ． 解答 漸化式： 一般項： ※筆者は漸化式の解き…

”掃除”は様々な意味を持つ言葉で，その使われ方も多岐に渡っています．その中でも，素朴な使い方として”窓の掃除”，”床の掃除”などの”汚れを落とす”という意味があります．この”汚れを落とす”という意味の”掃除”ですが，少し注意して見てみると次の２つの要…

数列の自作問題です．解答は下部に載せてあります． 問題 座標平面において， 軸上に点 を， 軸上に点 をそれぞれとる．ただし， ， はともに でない実数値とする．線分 の垂直二等分線 を引き， と 軸および 軸との交点をそれぞれ ， とする．以後同様に，…

ニュートンの運動方程式を用いて，万有引力により固定質点へと近づく質点の運動（１次元）を表す式を導出します． 固定質点を とし，万有引力により に近づく質点を とします．右向きを正とした座標をとり， の座標を ， の座標を とします． は万有引力によ…

人で を計算する方法を解説します． 人の列： （１） 人を横一列に並べ，左端から順に とします． （２） は紙とペンを持ちます．紙は白紙の状態です（紙に書かれた線の本数を とすると， ．） （３）始めは， 人全員が右手を下しています（ ． （４） が紙…

正方形にはいくつかの無限等比数列が潜んでいます．この記事では１辺の長さが１の正方形を例にとり，２つの無限等比数列について紹介します． （１）長辺の中点を通り，長辺に垂直な直線を次々と引くことで得られる数列 これは面積に関する無限等比数列です…

「真っ直ぐに，揺れずに両足で立ち続ける」 「決めた一点を見つめ続ける」 上に挙げたような「特定の姿勢を維持する」という行為は放っておいてできることではありません．長時間に渡って特定の姿勢を維持することができるようになるには訓練が必要です． で…

風変わりな数列の漸化式を紹介します． は， という制限付きであれば，以下のように解くことができます． まず， から次の２つの式を導出します． の左辺と右辺が等しいことに着目して， の左辺と右辺を の左辺と右辺でそれぞれ割り，次式を得ます． の右辺…

直交座標平面上の３点 ，， からなる三角形 の外心の座標 を求めます． ３点 ，， はいずれも点 を中心とする外接円上にあります．ゆえに，外接円の半径を とすると，次の３つの式が成り立ちます． これらの式を連立して解くと， となり，外心の座標 を求め…

次の命題は正しいでしょうか？ は素数である．（ただし，は素数） 素因数分解をしてみると，ｐ＝２３までは上の命題が成り立つことが確認できました．しかし，ｐ＝２９では成り立たず，反例があることから上の命題は偽であることが証明されました． ３ ３ ５…

仏教では執着は苦の原因とされ，執着を捨てることにより苦から解放されることを目指しています．この記事では，執着が生じる仕組みと，執着を生じさせないために求められることについて私見を述べます． 執着は心が一つのところに囚われて，自由に動けなくな…

ブッダはなぜ出家したのか．私の想像を書いてみます． ブッダ（ゴータマ＝シッダルタ）はヒマラヤの麓の小国の王子として産まれました．ブッダはあるとき次のようなことに気づいたのではないかと思います． 「私は物質的には何一つ不自由ない生活を送ってい…

仏教では執着は苦の原因であるとされています．では，人間はどのようなものに執着する傾向があるのでしょうか． ブッダの言葉を収録した聖典”スッタニパータ”を読むと，執着が生じる対象は次のようなものであると考えられます． （１）生理的欲求（食欲，睡…

岡潔は著書「日本のこころ」の中で，次のように述べています． ”このくにの善行は「少しも打算、分別の入らない行為」のことであって、無償かどうかをも分別しないのである。” この記事では，なぜ「少しも打算，分別の入らない行為」が「善行」と言えるのか…